Задача 54175

Темы:    [ Трапеции с суммой углов при основании 90╟ ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30° и 60°.
Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции.

Подсказка

Через середину M меньшего основания BC трапеции ABCD проведите прямую, параллельную боковой стороне AB.

Решение

  Через середину M меньшего основания BC трапеции ABCD проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке P и прямую, параллельную боковой стороне CD, до пересечения с прямой AD в точке Q.

  Если K – середина AD, то  PK = AK – AP = AK – BM = DK – MC = DK – QD = KQ,  поэтому MK – медиана треугольника PMQ, а так как
∠PMQ = 180° – 60° – 30° = 90°,  то  PK = KQ = MK = 3.  Значит,  AD – BC = PQ = 6,  AD + BC = 10,  откуда  AD = 8  и  BC = 2.
  Пусть PM – катет прямоугольного треугольника PMQ, лежащий против угла в 30°. Тогда AB – меньшая боковая сторона трапеции ABCD и
AB = PM = ½ PQ = 3.

Ответ

8, 2, 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1938