Задача 54178

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Одна прямая касается этих окружностей в различных точках A и B, а вторая — соответственно в различных точках C и D. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку K, пересекается с этими прямыми в точках M и N. Найдите MN, если AC = a, BD = b.

Подсказка

ABDC — равнобедренная трапеция (или прямоугольник), а MN — средняя линия.

Решение

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P. Углы при основаниях равнобедренных треугольников PAC и PBD равны, поэтому AC || BD. Значит, ABDC — равнобедренная трапеция. Поскольку MA = MK = MB, то M — середина боковой стороны AB. Аналогично, N — середина боковой стороны CD. Следовательно,

MN = (AC + BD) = .

Если AB || CD, то ABDC — прямоугольник. В этом случае MN = AC = BD.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1941