Задача 54257

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Трапеции (прочее) ] [ Биссектриса угла ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании.
Найдите стороны трапеции, если её высота равна 12, а длины биссектрис равны 15 и 13.

Подсказка

Указанные биссектрисы отсекают от трапеции равнобедренные треугольники.

Решение

  Пусть биссектрисы тупых углов B и C пересекаются в точке P, принадлежащей большему основанию AD трапеции ABCD,  CP = 15,  BP = 13, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на BC. Тогда  KC² = 15² – 12² = 9²,  KB² = 13² – 12² = 5².
  Заметим, что треугольники CDP и BAP – равнобедренные (см. решение задачи 54155). Проведём в треугольнике CPD высоту DL. Прямоугольные треугольники CLD и CKP подобны, отсюда  DP = DC = ^CL/_CK·CP = ¹⁵/₂·¹/₉·15 = 12,5.
  Аналогично,  AP = AB = ¹³/₂·¹/₅·13 = 16,9.

Ответ

14; 12,5; 29,4; 16,9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2020