Задача 54290

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Найдите основание треугольника.

Подсказка

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Решение

  Пусть BM и CK – биссектрисы треугольника ABC,  AB = AC = b,  KM = m.  Поскольку  ∠KMB = ∠MBC = ∠KBM,  то треугольник KBM – равнобедренный. Поэтому  BK = KM = m.  Аналогично,  MC = BK = m.
  По свойству биссектрисы треугольника  AB : BC = AM : MC,  или  b : BC = (b – m) : m.  Отсюда находим, что  BC = ^bm/_b–m.

Ответ

^bm/_b–m.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2053