Информация о задаче

Задача 54294

Темы:	[	Трапеции с суммой углов при основании 90╟	]
Темы:	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD углы A и D при основании AD соответственно равны 60^o и 90^o. Точка N лежит на основании BC, причём BN : BC = 2 : 3. Точка M лежит на основании AD, прямая MN параллельна боковой стороне AB и делит площадь трапеции пополам. Найдите AB : BC.

Подсказка

Обозначьте NC = a и выразите через a высоту трапеции.

Решение

Обозначим NC = a, AB = x. Тогда BN = 2a, AM = BN = 2a. Если NK — высота трапеции, то

DK = NC = a, MK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ .

Из равенства площадей параллелограмма ABNM и трапеции MNCD следует равенство

2AM = NC + MD, или 4a = a + a + $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ .

Отсюда находим, что x = 4a. Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AB}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{3a}}$ = $\displaystyle {\frac{4a}{3a}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ .

Ответ

4:3.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2057