Задача 54316

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса AP острого угла A делится центром O вписанной окружности в отношении
AO : OP = ( + 1) : ( – 1).  Найдите острые углы треугольника.

Решение

  Пусть AP – биссектриса треугольника ABC с гипотенузой AB. По свойству биссектрисы  AC : CP = AO : OP = ( + 1) : ( – 1),  поэтому можно считать, что  CP = – 1,  AC = + 1.
  Поскольку  BA : BP = AO : OP = ( + 1) : ( – 1),  пусть  AB = ( + 1)x,  BP = ( – 1)x.
  По теореме Пифагора  (( – 1)(x + 1))² + ( + 1)² = (( + 1)x)²,  или  ( – 1)²(x + 1) = ( + 1)²(x – 1),  то есть
(2 – )(x + 1) = (2 + )(x – 1),  откуда    Следовательно,  ∠A = 30°.

Ответ

30°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2079