Информация о задаче

Задача 54358

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD угол $\angle$ ABC = 60^o. Окружность касается прямой AD в точке A, центр окружности лежит внутри ромба. Касательные к окружности, проведённые из точки C, перпендикулярны. Найдите отношение периметра ромба к длине окружности.

Подсказка

Примените теорему косинусов к треугольнику AOC (где O — центр окружности).

Решение

Пусть r — радиус окружности, a — сторона ромба, O — центр окружности, M и N — точки касания окружности с касательными, проведёнными из вершины C. Тогда AC = a, CMON — квадрат,

CO = r $\displaystyle \sqrt{2}$ , OA = r, $\displaystyle \angle$ OAC = $\displaystyle \angle$ OAD - $\displaystyle \angle$ CAD = 90^o - 60^o = 30^o.

По теореме косинусов из треугольника AOC находим, что

OC² = AO² + AC² - 2AO^.AC cos 30^o,

или

r² + a² - ar $\displaystyle \sqrt{3}$ = 2r², r² + ar $\displaystyle \sqrt{3}$ - a² = 0.

Отсюда находим, что

r = $\displaystyle {\frac{a(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{2}}$ .

Тогда искомое отношение равно

$\displaystyle {\frac{4a}{2\pi r}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\pi}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\pi}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2121