Информация о задаче

Задача 54368

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, а биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке N. Площадь четырёхугольника, образованного пересечением биссектрис AM и CN с отрезками BN и DM, равна ${\frac{6}{5}}$ . Найдите углы параллелограмма ABCD, если AB = 3, AD = 5.

Решение

Пусть P — точка пересечения прямых CN и DM, а Q — прямых AM и BN. Поскольку

$\displaystyle \angle$ BMA = $\displaystyle \angle$ DAM = $\displaystyle \angle$ BAM,

то треугольник ABM — равнобедренный,

BM = AB = 3, MC = BC - BM = 5 - 3 = 2.

Аналогично докажем, что DN = 3 и АN = 2. Отсюда следует, что BMDN — параллелограмм. Поэтому MP || NQ, а т.к. AM || CN, то MPNQ — также параллелограмм. Значит,

S_MPN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_MPNQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Кроме того,

$\displaystyle {\frac{MP}{PD}}$ = $\displaystyle {\frac{CP}{PN}}$ = $\displaystyle {\frac{MC}{ND}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ,

поэтому

S_MPC = $\displaystyle {\frac{CP}{PN}}$ S_MPN = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ ,

S_CDP = $\displaystyle {\frac{DP}{PM}}$ S_MPC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ ,

S_DPN = $\displaystyle {\frac{DP}{PM}}$ S_MPN = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{10}}$ ,

S_ABCD = 2S_CDMN = 2(S_MPN + S_MPC + S_CDP + S_DPN) = 2 $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{9}{10}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{10}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{9}{10}}\right)$ = 5.

С другой стороны,

S_ABCD = AB^.AD sin $\displaystyle \angle$ BAD = 3^.5 sin $\displaystyle \angle$ BAD.

Из уравнения 15 sin $\angle$ BAD = 5 находим, что sin $\angle$ BAD = ${\frac{1}{3}}$ .

Ответ

arcsin ${\frac{1}{3}}$ , 180^o - arcsin ${\frac{1}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2131