Задача 54374

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На окружности по разные стороны от диаметра AC расположены точки B и D. Известно, что  AB = ,  CD = 1,  а площадь треугольника ABC втрое больше площади треугольника BCD. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Продолжите BC и AD до пересечения.

Решение

  Пусть прямые BC и AD пересекаются в точке M, DK – высота треугольника BCD. Поскольку  ∠B = 90°,  S_BCD = ¹/₃ S_ABC,  то  DK = ¹/₃ AB = ,
CK² = DC² – DK² = ¹/₃.
  Из подобия треугольников CKD и ABM получаем, что  AM = ^AB/_CK·СD.  Поскольку  DK || AB,  то  AD = ²/₃ AM = 2
  По теореме Пифагора  AC² = AD² + CD² = 9.  Следовательно, радиус окружности равен ³/₂.

Ответ

1,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2137