Задача 54382

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, проходит через середину стороны BC и пересекает сторону AB в точке D так, что  AD = ¹/₃ AB.  Найдите площадь треугольника ABC, если  AC = 1.

Подсказка

Треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

  Пусть M – середина BC. Диаметр AC виден из точки M под прямым углом, значит, AM — высота и медиана треугольника ABC. Поэтому этот треугольник – равнобедренный,   AB = AC = 1.  Значит,  AD = ¹/₃,  BD = ²/₃,  а так как  BC·BM = BA·BD,  то   2BM² = ²/₃,  BM = .  Поэтому
AM = = .  Следовательно,  S_ABC = ½ BC·AM = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2145