Информация о задаче

Задача 54463

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведена биссектриса CD, при этом величины углов ADC и CDB относятся как 7:5. Найдите AD, если известно, что BC = 1, а угол BAC равен 30^o.

Подсказка

Докажите, что треугольник ABC прямоугольный и примените свойство биссектрисы треугольника.

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{2}}$ ^.180^o = 105^o,

то

$\displaystyle \angle$ ACD = 180^o - 30^o - 105^o = 45^o.

Поэтому $\angle$ ACB = 90^o, т.е. треугольник ABC — прямоугольный. Тогда

AC = BCtg $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \sqrt{3}$ , AB = 2BC = 2.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AD}{DB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Значит,

$\displaystyle {\frac{AD}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}}$ .

Следовательно,

AD = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ ( $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1) = 3 - $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

3 - $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2227