Задача 54471

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Высоты равнобедренного остроугольного треугольника, в котором AB = BC, пересекаются в точке H.
Найдите площадь треугольника ABC, если  AH = 5,  а высота AD равна 8.

Решение

Пусть M – середина AC. Из подобия прямоугольных треугольников AMH и ADC получаем  AM : 5 = 8 : 2AM,  то есть  AM² = 20.  Отсюда
HM² = AH² – AM² = 5 = ¼ AM².  Из подобия прямоугольных треугольников AM и AMH получаем  BM : AM = AM : MH = 2.  Следовательно,
S_ABC = AM : BM = 2AM² = 40.

Ответ

40.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2235