Информация о задаче

Задача 54472

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около трапеции ABCD описана окружность, центр которой лежит на основании AD. Найдите площадь трапеции, если AB = ${\frac{3}{4}}$ , AC = 1.

Подсказка

Рассмотрите прямоугольный треугольник ACD.

Решение

Пусть P — проекция вершины C на диаметр AD. В прямоугольном треугольнике ACD:

AD = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}+ CD^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{1+\frac{9}{16}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ , AP^.AD = AC².

Отсюда находим, что AP = ${\frac{AC^{2}}{AD}}$ = ${\frac{9}{5}}$ .

Поскольку AD^.CP = AC^.CD, то CP = ${\frac{AC\cdot CD}{AD}}$ = ${\frac{12}{5}}$ . Поскольку отрезок AP равен средней линии трапеции ABCD, а CP — высота трапеции, то

S_ABCD = AP^.CP = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{5}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{108}{25}}$ .

Ответ

${\frac{108}{25}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2236