ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54505
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
Название задачи: Луночки Гиппократа.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных "луночек" равна площади треугольника.


Подсказка

Пусть a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза. Тогда сумма площадей сегментов, отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника, равна $ {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ - $ {\frac{ab}{2}}$.


Решение

Пусть a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза. Тогда сумма площадей указанных "луночек" равна

$\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{8}}$ - s1 + $\displaystyle {\frac{\pi b^{2}}{8}}$ - s2,

где s1 и s2 — площади сегментов, отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника. Ясно, что

s1 + s2 = $\displaystyle {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$.

Следовательно, искомая сумма равна

$\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{\pi b^{2}}{8}}$ - (s1 + s3) = $\displaystyle {\frac{\pi (a^{2} + b^{2})}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2269
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 7
Название Площади криволинейных фигур
Тема Площади криволинейных фигур
задача
Номер 03.038

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .