Задача 54548

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Два колеса радиусов r и R катаются по прямой m. Найдите геометрическое место точек пересечения M их общих внутренних касательных.

Подсказка

Вычислите расстояние от прямой M до прямой m.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей радиусов r и R, A и B – точки касания этих окружностей с прямой m.
  Окружности гомотетичны относительно точки M с коэффициентом ^r/_R. Значит,  O₁M : O₂M = r : R.
  В таком же отношении делит боковые стороны трапеции AO₁O₂B прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку пересечения её диагоналей (см. рис.).

  Пусть N – проекция точки M на прямую m. Согласно решению задачи 115592  MN = ^2rR/_R+r.  Следовательно, точка M удалена от прямой m на фиксированное растояние, то есть принадлежит прямой, параллельной прямой m.
  С другой стороны, для любой точки этой прямой можно указать две окружности радиусов r и R, для которых она является точкой пересечения общих внутренних касательных.

Ответ

Прямая, параллельная прямой m.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2442