Информация о задаче

Задача 54550

Темы:	[	Окружность Ферма-Аполлония	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9
Название задачи: Окружность Аполлония..

Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся как m : n.

Подсказка

Воспользуйтесь свойствами биссектрис внутреннего и внешнего угла треугольника.

Решение

Первый способ.

Рассмотрим случай, когда m $\ne$ n. Пусть A и B — данные точки. Пусть точка P такова, что ${\frac{PA}{PB}}$ = ${\frac{m}{n}}$ . Если точка P не лежит на прямой AB, то проведём биссектрису PC треугольника APB и биссектрису внешнего угла треугольника APB, смежного с углом APB, до пересечения с прямой AB в точке C₁. Тогда

$\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{AC_{1}}{BC_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{AP}{BP}}$ = $\displaystyle {\frac{m}{n}}$ ,

а угол CPC₁ — прямой как угол между биссектрисами смежных углов. Следовательно, точка P лежит на окружности с диаметром CC₁.

Пусть теперь M — произвольная точка построенной окружности, отличная от A и B (для которых все и так ясно). Тогда $\angle$ CMC₁ = 90^o. Проведём через точку B прямую, параллельную AM. Пусть K и L — точки пересечения проведённой прямой с прямыми MC₁ и MC. Из подобия треугольников BKC₁ и AMC₁ следует, что

$\displaystyle {\frac{AM}{BK}}$ = $\displaystyle {\frac{AC_{1}}{BC_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{m}{n}}$ ,

а из подобия треугольников BLC и AMC —

$\displaystyle {\frac{AM}{BL}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{CB}}$ = $\displaystyle {\frac{m}{n}}$ .

Из полученных равенств следует, что BK = BL. Поэтому MB — медиана прямоугольного треугольника KML с прямым углом при вершине M. Следовательно,

MB = BK, $\displaystyle {\frac{AM}{MB}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{BK}}$ = $\displaystyle {\frac{m}{n}}$ ,

что и требовалось доказать.

Второй способ.

Введём систему координат на плоскости так, чтобы точки A и B имели координаты (- a;0) и (a;0) соответственно. Если точка P имеет координаты (x;y), то

$\displaystyle {\frac{AP^{2}}{BP^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{(x + a)^{2} + y^{2}}{(x - a)^{2} + y^{2}}}$ .

Уравнение ${\frac{AP^{2}}{BP^{2}}}$ = ${\frac{m^{2}}{n^{2}}}$ приводится к виду

$\displaystyle \left(\vphantom{x + \frac{a(m^{2} + n^{2})}{n^{2} - m^{2}}}\right.$ x + $\displaystyle {\frac{a(m^{2} + n^{2})}{n^{2} - m^{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{x + \frac{a(m^{2} + n^{2})}{n^{2} - m^{2}}}\right)^{2}_{}$ + y² = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2mn}{n^{2} - m^{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{2mn}{n^{2} - m^{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2mn}{n^{2} - m^{2}}}\right)^{2}_{}$ .

Это уравнение окружности с центром $\left(\vphantom{\frac{a(m^{2} + n^{2})}{m^{2} - n^{2}}; 0}\right.$ ${\frac{a(m^{2} + n^{2})}{m^{2} - n^{2}}}$ ;0 $\left.\vphantom{\frac{a(m^{2} + n^{2})}{m^{2} - n^{2}}; 0}\right)$ и радиусом ${\frac{2mn}{\vert m^{2} - n^{2}\vert}}$ .

Ответ

Окружность, если m $\ne$ n. Если m = n, то искомое геометрическое место точек есть серединный перпендикуляр к отрезку с концами в данных точках.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2444