Информация о задаче

Задача 54559

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки A, B и C лежат на одной прямой (точка B расположена между точками A и C). Через точки A и B проводятся окружности, а через точку C — касательные к ним. Найдите геометрическое место точек касания.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Если M — одна из точек касания, то

CM² = CA^.CB.

Следовательно, точка M лежит на окружности с центром C и радиусом, равным $\sqrt{CA\cdot CB}$ .

Рассмотрим теперь любую точку P этой окружности, не лежащую на прямой AC. Опишем окружность около треугольника APB. Тогда треугольники APC и PBC подобны, поскольку угол C у них общий, а ${\frac{AC}{PC}}$ = ${\frac{PC}{BC}}$ , т.к. PC = $\sqrt{AC\cdot BC}$ . Поэтому

$\displaystyle \angle$ CPB = $\displaystyle \angle$ PAC = $\displaystyle \angle$ PAB.

Если касательная, проведённая к описанной окружности треугольника APB в точке P, пересекает луч BC в точке C₁, то

$\displaystyle \angle$ C₁PB = $\displaystyle \angle$ PAB = $\displaystyle \angle$ CPB.

Поэтому точки C₁ и C совпадают. Следовательно, CP — касательная к окружности, проходящей через точки A и B.

Если M — одна из точек касания, то

CM² = CA^.CB.

Следовательно, точка M лежит на окружности с центром C и радиусом, равным $\sqrt{CA\cdot CB}$ .

$\displaystyle \angle$ CPB = $\displaystyle \angle$ PAC = $\displaystyle \angle$ PAB.

$\displaystyle \angle$ C₁PB = $\displaystyle \angle$ PAB = $\displaystyle \angle$ CPB.

Поэтому точки C₁ и C совпадают. Следовательно, CP — касательная к окружности, проходящей через точки A и B.

Если M — одна из точек касания, то

CM² = CA^.CB.

Следовательно, точка M лежит на окружности с центром C и радиусом, равным $\sqrt{CA\cdot CB}$ .

$\displaystyle \angle$ CPB = $\displaystyle \angle$ PAC = $\displaystyle \angle$ PAB.

$\displaystyle \angle$ C₁PB = $\displaystyle \angle$ PAB = $\displaystyle \angle$ CPB.

Поэтому точки C₁ и C совпадают. Следовательно, CP — касательная к окружности, проходящей через точки A и B.

Ответ

Окружность без двух точек.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2453