Задача 54633

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Постройте треугольник ABC, зная три точки A₁, B₁ и C₁, симметричные центру O описанной окружности этого треугольника относительно прямых BC, CA и AB.

Подсказка

Докажите, что O – точка пересечения высот треугольника A₁B₁C₁.

Решение

  Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть M, N и K – середины его сторон BC, CA и AB соответственно. Тогда MK – средняя линия треугольников ABC и A₁OC₁. Поэтому
MK || AC  и MK || A₁C₁,  а так как B₁O – серединный перпендикуляр к отрезку AC, то  B₁O ⊥ A₁C₁,  то есть высота B₁F треугольника A₁B₁C₁ проходит через точку O. Аналогично для остальных высот треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, O – ортоцентр треугольника A₁B₁C₁.
  Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим ортоцентр O пересечения высот треугольника A₁B₁C₁. Серединные перпендикуляры к отрезкам OA₁, OB₁ и OC₁ есть стороны искомого треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2529