Задача 54636

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место точек, каждая из которых симметрична точке A относительно некоторой прямой, проходящей через точку B.

Подсказка

На продолжении отрезка AB за точку B отложите отрезок BC, равный отрезку AB, и докажите, что отрезок AC виден из каждой точки искомого геометрического места точек под прямым углом.

Решение

На продолжении отрезка AB за точку B отложим отрезок BC, равный отрезку AB. Докажем, что искомое геометрическое место точек есть окружность с диаметром AC.

Пусть M — образ точки A при симметрии относительно некоторой прямой, проходящей через точку B, P — середина AM. Тогда BP — средняя линия треугольника AMC. Поэтому

AMC = APB = 90^o.

Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром AC.

Обратно, каждая точка M этой окружности симметрична точке A относительно прямой, проходящей через точку B и середину отрезка AM.

Ответ

Окружность.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2533