Информация о задаче

Задача 54640

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На окружности заданы две точки A и B. Проводятся всевозможные пары окружностей, касающихся внешним образом друг друга и касающихся внешним образом данной окружности в точках A и B. Какое множество образуют точки взаимного касания этих пар окружностей?

Подсказка

Пусть M — одна из указанных точек, O — центр данной окружности. Выразите угол AMB через угол AOB.

Решение

Пусть O — центр данной окружности, O₁ и O₂ — центры указанных окружностей, касающихся данной в точках A и B соответственно, и касающихся между собой в точке M. Тогда точки A и B лежат на сторонах OO₁ и OO₂ треугольника OO₁O₂.

Обозначим

$\displaystyle \angle$ O = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ O₁ = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ O₂ = $\displaystyle \gamma$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ AMB = 180^o - $\displaystyle \angle$ O₁MA - $\displaystyle \angle$ O₂MB =

= 180^o - $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} - \frac{\beta}{2}}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} - \frac{\beta}{2}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ} - \frac{\gamma}{2}}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ} - \frac{\gamma}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Значит, из каждой точки M отрезок AB виден под одним и тем же углом 90^o - ${\frac{\alpha}{2}}$ , а т.к. зти точки расположены по одну сторону от прямой AB, то они лежат на дуге некоторой окружности S. Концы P и Q этой дуги есть точки пересечения окружности S с касательными к данной окружности, проведёнными через точки A и B.

Для любой точки M этой дуги (кроме точек P и Q) можно построить две окружности, касающиеся между собой в точке M, и касающиеся данной окружности в точках A и B.

Точка G пересечения указанных касательных есть центр окружности, на которой расположено найденное геометрическое место точек.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2537