Задача 54651

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Дана полуокружность с диаметром AB. С помощью циркуля и линейки постройте хорду MN, параллельную AB, так, чтобы трапеция AMNB была описанной.

Подсказка

Пусть P — проекция точки N на AB. Выразите AP через AB.

Решение

Предположим, что нужная трапеция AMNB построена. Пусть P — проекция вершины N на AB (рис.1). Тогда

AP = = = BN

(трапеция AMNB — равнобедренная, т.к. она вписана в окружность).

С другой стороны, поскольку треугольник ANB прямоугольный, то

AP² = BN² = AB ^. BP = AB(AB - AP), или AP² + AP ^. AB - AB² = 0.

Отсюда находим, что AP = AB ^. .

Для построения искомого отрезка AP (рис.2) на перпендикуляре, к данному отрезку AB, проходящем через точку B, отложим отрезок BD, равный AB, и на луче DA отложим отрезок DE, равный BD. Тогда

AE = AD - DE = - AB = AB ^. - AB = AB ^. .

На отрезке AB отметим такую точку P, что AP = AE. Тогда перпендикуляр к AB, проведённый через точку P, пересекает данную полуокружность в точке N — вершине искомой трапеции.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2548