Информация о задаче

Задача 54652

Темы:	[	Построения с помощью вычислений	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны отрезки a и b. Постройте отрезок x, равный $\sqrt[4]{a^{4} + b^{4}}$ .

Подсказка

Воспользуйтесь тождеством

$\displaystyle \root$ [4]a⁴+b⁴ = $\displaystyle \sqrt{\sqrt{\left(\frac{a^{2}}{c}\right)^{2}+ \left(\frac{b^{2}}{c}\right)^{2}} \cdot c}$ ,

где c — произвольный отрезок, или тождеством

a⁴ + b⁴ = (a² + b² - $\displaystyle \sqrt{2}$ ab)(a² + b² + $\displaystyle \sqrt{2}$ ab).

Решение

Первый способ.

Пусть c - произвольный отрезок. Построим такие отрезки m и n, что ${\frac{m}{a}}$ = ${\frac{a}{c}}$ и ${\frac{n}{b}}$ = ${\frac{b}{c}}$ . Тогда m = ${\frac{a^{2}}{c}}$ и n = ${\frac{b^{2}}{c}}$ . Затем построим такой отрезок y, что

y = $\displaystyle \sqrt{m^{2} + n^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{a^{2}}{c}\right)^{2}+ \left(\frac{b^{2}}{c}\right)^{2}}$ ,

затем — такой отрезок x, что

x = $\displaystyle \sqrt{y \cdot c}$ = $\displaystyle \sqrt{\sqrt{\left(\frac{a^{2}}{c}\right)^{2}+ \left(\frac{b^{2}}{c}\right)^{2}} \cdot c}$ = $\displaystyle \root$ [4]a⁴+b⁴.

Второй способ.

Заметим, что

a⁴ + b⁴ = a⁴ + 2a²b² + b⁴ - 2a²b² = (a² + b²)² - 2a²b² =

= (a² + b² - $\displaystyle \sqrt{2}$ ab)(a² + b² + $\displaystyle \sqrt{2}$ ab) =

= (a² + b² - 2ab cos 45^o)(a² + b² - 2ab cos 135^o).

Пусть

p = $\displaystyle \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab \cos 45^{\circ }}$ , q = $\displaystyle \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab \cos 135^{\circ }}$ .

Тогда $\root$ [4]a⁴+b⁴ = $\sqrt{pq}$ .

Отсюда вытекает следующее построение. Строим треугольник со сторонами a и b и углом 45^o между ними. Тогда p — третья сторона этого треугольника. Аналогично строим отрезок q. Наконец, искомый отрезок x строим как среднее геометрическое отрезков p и q.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2549