Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов. При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого белого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так, что оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком красный квадрат?

Комментарий. Во фразе "все квадраты одинаковы" имеется в виду, что все белые квадраты имеют тот же размер, что и красный.

   Решение

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Одна из двух прямых, проходящих через точку M, касается окружности в точке C, а вторая пересекает эту окружность в точках A и B, причём A — середина отрезка BM. Известно, что MC = 2 и BMC = 45^o. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Докажите, что треугольник BMC прямоугольный.

Решение

Обозначим AM = AB = x. По теореме о касательной и секущей BM ^. AM = MC², или 2x² = 4, откуда x = .

В треугольнике BMC известны стороны MC = 2, BM = 2x = 2 и угол между ними: BMC = 45^o. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетом, равным 2, и острым углом, равным 45^o. Его гипотенуза равна 2, значит, этот треугольник равен треугольнику BMC по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, треугольник BMC прямоугольный, BCM = 90^o. Тогда BC — диаметр окружности и BC = MC = 2.

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования