Задача 54676

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H, причём  CH = C₁H  и  BH = 2B₁H.  Найдите угол A.

Подсказка

Пусть M – середина BH. Тогда четырёхугольник  CB₁C₁M – параллелограмм.

Решение

Докажем, что прямоугольный треугольник CB₁H – равнобедренный. Тогда  ∠ACC₁ = 45°  и  ∠A = 45°.

Первый способ. Пусть M – середина BH. Поскольку диагонали CC₁ и MB₁ четырёхугольника CB₁C₁M точкой H пересечения делятся пополам, то CB₁C₁M – параллелограмм (рис. слева). Поэтому  CB₁ = C₁M = ½ BH = B₁H.

Второй способ. Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром BC. Обозначим  CH = C₁H = x,  B₁H = y,  BH = 2y  (рис. справа). По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд  x² = 2y².  Значит, прямоугольный треугольник CB₁H – равнобедренный.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2622