Задача 54688

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Концентрические окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 1:2. Хорда большей окружности делится меньшей окружностью на три равные части. Найдите отношение этой хорды к диаметру большей окружности.

Подсказка

Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Пусть хорда AD большей окружности с центром O пересекает меньшую окружность в точках B и C (B между A и C). Рассмотрим диаметр PQ большей окружности, проходящий через точку C (C между O и P). Обозначим OC = x, AB = BC = CD = a. Тогда

CD ^. AC = PC ^. CQ, или a ^. 2a = x ^. 3x,

откуда = . Следовательно,

= = ^. = = .

Пусть хорда AD большей окружности с центром O пересекает меньшую окружность в точках B и C (B между A и C). Рассмотрим диаметр PQ большей окружности, проходящий через точку C (C между O и P). Обозначим OC = x, AB = BC = CD = a. Тогда

CD ^. AC = PC ^. CQ, или a ^. 2a = x ^. 3x,

откуда = . Следовательно,

= = ^. = = .

Пусть хорда AD большей окружности с центром O пересекает меньшую окружность в точках B и C (B между A и C). Рассмотрим диаметр PQ большей окружности, проходящий через точку C (C между O и P). Обозначим OC = x, AB = BC = CD = a. Тогда

CD ^. AC = PC ^. CQ, или a ^. 2a = x ^. 3x,

откуда = . Следовательно,

= = ^. = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2634