Задача 54690

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точка M лежит вне окружности радиуса R и удалена от центра на расстояние d. Докажите, что для любой прямой, проходящей через точку M и пересекающей окружность в точках A и B, произведение MA ^. MB одно и то же. Чему оно равно?

Подсказка

Из точки M проведите касательную к окружности и примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть точка A лежит между M и B. Через точку M проведём прямую, касающуюся окружности в точке C. Тогда угол ACM равен половине дуги AC, не содержащей точку B (угол между касательной и хордой), а т.к. вписанный угол ABC также равен половине этой дуги, то ACM = CBM, значит, треугольник ACM подобен треугольнику CBM по двум углам (угол при вершине M — общий для этих треугольников). Следовательно, = , откуда MA ^. MB = MC².

Пусть O — центр окружности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM находим, что

MC² = MO² - OC² = d² - R².

Следовательно,

MA ^. MB = d² - R².

Пусть точка A лежит между M и B. Через точку M проведём прямую, касающуюся окружности в точке C. Тогда угол ACM равен половине дуги AC, не содержащей точку B (угол между касательной и хордой), а т.к. вписанный угол ABC также равен половине этой дуги, то ACM = CBM, значит, треугольник ACM подобен треугольнику CBM по двум углам (угол при вершине M — общий для этих треугольников). Следовательно, = , откуда MA ^. MB = MC².

Пусть O — центр окружности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM находим, что

MC² = MO² - OC² = d² - R².

Следовательно,

MA ^. MB = d² - R².

Пусть точка A лежит между M и B. Через точку M проведём прямую, касающуюся окружности в точке C. Тогда угол ACM равен половине дуги AC, не содержащей точку B (угол между касательной и хордой), а т.к. вписанный угол ABC также равен половине этой дуги, то ACM = CBM, значит, треугольник ACM подобен треугольнику CBM по двум углам (угол при вершине M — общий для этих треугольников). Следовательно, = , откуда MA ^. MB = MC².

Пусть O — центр окружности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM находим, что

MC² = MO² - OC² = d² - R².

Следовательно,

MA ^. MB = d² - R².

Ответ

d² - R².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2636