Задача 54693

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Каждая из двух равных пересекающихся хорд окружности делится точкой пересечения на два отрезка. Докажите, что отрезки первой хорды соответственно равны отрезкам второй.

Подсказка

Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Пусть равные хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M. Обозначим AM = x, CM = y, AB = CD = a. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

AM ^. BM = CM ^. DM, или x(a - x) = y(a - y).

После очевидных упрощений получим равенство

(x - y)(x + y - a) = 0,

откуда либо x = y, либо x = a - y, т.е. либо AM = CM, либо AM = DM.

Пусть равные хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M. Обозначим AM = x, CM = y, AB = CD = a. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

AM ^. BM = CM ^. DM, или x(a - x) = y(a - y).

После очевидных упрощений получим равенство

(x - y)(x + y - a) = 0,

откуда либо x = y, либо x = a - y, т.е. либо AM = CM, либо AM = DM.

Пусть равные хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M. Обозначим AM = x, CM = y, AB = CD = a. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

AM ^. BM = CM ^. DM, или x(a - x) = y(a - y).

После очевидных упрощений получим равенство

(x - y)(x + y - a) = 0,

откуда либо x = y, либо x = a - y, т.е. либо AM = CM, либо AM = DM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2639