Информация о задаче

Задача 54717

Темы:	[	Теорема Стюарта	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9
Название задачи: Теорема Стюарта.

Прислать комментарий

Условие

Точка D расположена на стороне BC треугольника ABC. Докажите, что AB^{2 .}DC + AC^{2 .}BD - AD^{2 .}BC = BC^.DC^.BD.

Подсказка

Выразите косинус угла ABC по теореме косинусов из треугольников ABC и ABD и приравняйте полученные выражения.

Решение

По теореме косинусов находим косинус угла B сначала из треугольника ABC, а затем — из треугольника ABD:

cos $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2AB\cdot BC}}$ , cos $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + BD^{2} - AD^{2}}{2AB\cdot BD}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + BD^{2} - AD^{2}}{BD}}$ $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ AB^{2 .}BD + BC^{2 .}BD - AC^{2 .}BD = AB^{2 .}BC + BD^{2 .}BC - AD^{2 .}BC $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ BC^{2 .}BD - BD^{2 .}BC = AB^{2 .}BC - AD^{2 .}BC + AC^{2 .}BD - AB^{2 .}BD $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ BD^.BC^.(BC - BD) = (AB^{2 .}BC - AB^{2 .}BD) + AC^{2 .}BD - AD^{2 .}BC $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ BD^.BC^.DC = AB^{2 .}(BC - BD) + AC^{2 .}BD - AD^{2 .}BC $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ BD^.BC^.DC = AB^{2 .}DC + AC^{2 .}BD - AD^{2 .}BC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2663