Задача 54773

Темы:    [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через точку на плоскости провели 10 прямых, после чего плоскость разрезали по этим прямым на углы.
Докажите, что хотя бы один из этих углов меньше 20°.

Подсказка

Предположите, что каждый из полученных углов не меньше 20°.

Решение

Десять прямых, проведённых через одну точку, разбивают плоскость на 20 углов. Если все они не меньше 20°, то их сумма не меньше
20·20° = 400° > 360°.  Противоречие.

Замечания

Ср. с задачей 78475.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2719