Задача 54787

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Основания трапеции равны a и b. Известно, что через середину одной из её сторон можно провести прямую, делящую трапецию на два четырёхугольника, в каждый из которых можно вписать окружность. Найдите другую боковую сторону этой трапеции.

Подсказка

Пусть продолжения сторон BM и CN описанного четырёхугольника BCNM пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и MN — в точке Q. Докажите, что PC + MQ = PM + CQ.

Решение

Пусть прямая, проходящая через середину M боковой стороны AB трапеции ABCD с основаниями AD = a и BC = b, персекает боковую сторону CD в точке N, а продолжения оснований AD и BC — в точках L и Q соответственно. Тогда MQ = LM и LA = BQ.

Пусть окружность, вписанная в четырёхугольник BCNM касается его сторон BC, CN, NM и BM в точках X, Y, Z и T. Если прямые AB и CD пересекаются в точке P, то

PC + MQ = PY - CY + MZ + QZ = PT - CX + MT + QX =

= (PT + MT) + (QX - CX) = PM + CQ.

Аналогично докажем, что

PD + LM = LD + MP.

Вычитая почленно первое равенство из второго и используя равенства MQ = LM и LA = BQ, получим, что

PD + LM - PC - MQ = LD + MP - PM - CQ,

PD - PC + LM - MQ = LD + MP - PM - CQ,

PD - PC = LD - CQ,

CD = LD - CQ = (LA + AD) - (BQ - BC) = (LA - BQ) + (AD + BC) =

= AD + BC = a + b.

Ответ

a + b.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2733