Информация о задаче

Задача 54810

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника ABC пополам и образует с прямой AB угол 15^o. Найдите углы треугольника ABC.

Подсказка

Треугольник CDE подобен треугольнику CBA с коэффициентом | cos $\angle$ ACE|.

Решение

Обозначим углы при вершинах A, B и C треугольника ABC через $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Поскольку точка C лежит вне окружности с диаметром AB, то угол при вершине C — острый, т.е. $\gamma$ < 90^o.

Точки A, D, E и B лежат на одной окружности, поэтому

$\displaystyle \angle$ CDE = 180^o - $\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \beta$ .

Аналогично докажем, что $\angle$ CED = $\alpha$ .

Треугольник CDE подобен треугольнику CBA, причём коэффициент подобия равен квадратному корню из отношения площадей этих треугольников, т.е. k = ${\frac{1}{\sqrt{2}}}$ . С другой стороны, т.к.

$\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle \angle$ AEB = 90^o,

то

$\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2}}}$ = k = $\displaystyle {\frac{CE}{AC}}$ = cos $\displaystyle \angle$ ACE = cos $\displaystyle \gamma$ .

Поэтому $\gamma$ = 45^o.

Пусть прямая DE пересекается с прямой AB в точке K. По условию $\angle$ AKD = 15^o. В то же время, ABC — внешний угол треугольника BEK, поэтому

$\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ AKD + $\displaystyle \angle$ BEK = $\displaystyle \angle$ AKD + $\displaystyle \angle$ CED, или $\displaystyle \beta$ = 15^o + $\displaystyle \alpha$ .

Подставив $\beta$ в равенство

$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ = 180^o - 45^o = 135^o,

найдём, что $\alpha$ = 60^o. Следовательно, $\beta$ = 75^o.

Ответ

60^o, 75^o, 45^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2756