ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54811
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В круге радиуса 1 проведены хорды AB = $ \sqrt{2}$ и BC = $ {\frac{10}{7}}$. Найдите площадь части круга, лежащей внутри угла ABC, если угол BAC острый.


Подсказка

Пусть O — центр окружности. Докажите, что точки A и C лежат по разные стороны от прямой OA. Искомая площадь равна сумме площадей треугольников AOB, BOC и сектора AOC, не содержащего точку B.


Решение

Докажем сначала, что точки A и C лежат по разные стороны от диаметра BB1. Предположим, что это не так. Тогда треугольник ABC -- тупоугольный, угол ABC — острый, значит, один из оставшихся двух углов треугольника ABC — тупой. Так как

BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{7}}$ > $\displaystyle \sqrt{2}$ = AB,

то $ \angle$BAC > $ \angle$ACB, поэтому угол BAC — тупой, что противоречит условию.

Треугольник AOB прямоугольный, т.к. его стороны равны 1, 1 и $ \sqrt{2}$. Обозначим $ \angle$BOC = $ \alpha$. Тогда

sin$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{2OB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$.

Поэтому

sin$\displaystyle \alpha$ = 2 sin$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ . $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{7}}$ = $\displaystyle {\frac{20\sqrt{6}}{49}}$,

$\displaystyle \angle$AOC = 2$\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - 2 arcsin$\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$.

Пусть O — центр окружности. Обозначим искомую площадь через S, площади треугольников AOB и AOC — через S1 и S2 соответственно, площадь сектора AOC, содержащего точку B1, — через S3. Тогда

S1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$OA . OB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$OB . OC sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{10\sqrt{6}}{49}}$,

S3 = $\displaystyle {\frac{\pi \angle AOC}{2\pi}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{2\pi - \frac{\pi}{2} - 2\arcsin \frac{5}{7}}\right.$2$\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - 2 arcsin$\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$$\displaystyle \left.\vphantom{2\pi - \frac{\pi}{2} - 2\arcsin \frac{5}{7}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{3\pi}{4}}$ - arcsin$\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$.

Следовательно,

S = S1 + S2 + S3 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{10\sqrt{6}}{49}}$ + $\displaystyle {\frac{3\pi}{4}}$ - arcsin$\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$.


Ответ

$ {\frac{1}{2}}$ + $ {\frac{10\sqrt{6}}{49}}$ + $ {\frac{3\pi}{4}}$ - arcsin$ {\frac{5}{7}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2757

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .