Информация о задаче

Задача 54811

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В круге радиуса 1 проведены хорды AB = $\sqrt{2}$ и BC = ${\frac{10}{7}}$ . Найдите площадь части круга, лежащей внутри угла ABC, если угол BAC острый.

Подсказка

Пусть O — центр окружности. Докажите, что точки A и C лежат по разные стороны от прямой OA. Искомая площадь равна сумме площадей треугольников AOB, BOC и сектора AOC, не содержащего точку B.

Решение

Докажем сначала, что точки A и C лежат по разные стороны от диаметра BB₁. Предположим, что это не так. Тогда треугольник ABC -- тупоугольный, угол ABC — острый, значит, один из оставшихся двух углов треугольника ABC — тупой. Так как

BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{7}}$ > $\displaystyle \sqrt{2}$ = AB,

то $\angle$ BAC > $\angle$ ACB, поэтому угол BAC — тупой, что противоречит условию.

Треугольник AOB прямоугольный, т.к. его стороны равны 1, 1 и $\sqrt{2}$ . Обозначим $\angle$ BOC = $\alpha$ . Тогда

sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{2OB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ .

Поэтому

sin $\displaystyle \alpha$ = 2 sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ ^. $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{7}}$ = $\displaystyle {\frac{20\sqrt{6}}{49}}$ ,

$\displaystyle \angle$ AOC = 2 $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - 2 arcsin $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ .

Пусть O — центр окружности. Обозначим искомую площадь через S, площади треугольников AOB и AOC — через S₁ и S₂ соответственно, площадь сектора AOC, содержащего точку B₁, — через S₃. Тогда

S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OA^.OB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , S₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OB^.OC sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{10\sqrt{6}}{49}}$ ,

S₃ = $\displaystyle {\frac{\pi \angle AOC}{2\pi}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{2\pi - \frac{\pi}{2} - 2\arcsin \frac{5}{7}}\right.$ 2 $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - 2 arcsin $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{2\pi - \frac{\pi}{2} - 2\arcsin \frac{5}{7}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{3\pi}{4}}$ - arcsin $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ .

Следовательно,

S = S₁ + S₂ + S₃ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{10\sqrt{6}}{49}}$ + $\displaystyle {\frac{3\pi}{4}}$ - arcsin $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{10\sqrt{6}}{49}}$ + ${\frac{3\pi}{4}}$ - arcsin ${\frac{5}{7}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2757