|
|
 |
Условие
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного
треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной около
треугольника окружности.
Решение
Пусть продолжения высот AA1 , BB1 и CC1
треугольника ABC пересекают описанную окружность
в точках A2 , B2 и C2 соответственно,
а H — точка пересечения высот. Тогда A1 , B1 и
C1 — середины отрезков HA2 , HB2 и HC2 ,
поэтому A1B1 , A1C1 и B1C1 —
средние линии треугольников A2HB2 , A2HC2 и
B2HC2 . Значит, треугольник A2B2C2 подобен
треугольнику A1B1C1 , а т.к. треугольник
A1B1C1 — прямоугольный ( 52+122=132 ), то
треугольник A2B2C2 — также прямоугольный, причём
его угол, лежащий против наибольшей стороны, равен 90o .
Следовательно, диаметр описанной окружности треугольника
A2B2C2 , а значит, и треугольника ABC , равен гипотенузе
треугольника A2B2C2 , т.е. 26, а искомый радиус равен 13.
Ответ
13.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2759 |
