Задача 54823

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна b. Расстояние между основаниями биссектрис треугольника, проведённых к боковым сторонам, равно m. Найдите основание треугольника.

Подсказка

Докажите, что прямая, проходящая через основания указанных биссектрис, параллельна основанию треугольника и примените свойство биссектрисы треугольника.

Решение

Пусть BM и CK – биссектрисы равнобедреннго треугольника ABC, с основанием BC, причём  AB = AC = b,  MK = m.  По свойству биссектрисы треугольника  AK : KB = AC : BC = AB : BC = AM :MC,  поэтому  MK || BC.  Значит,  ∠KMB = ∠MBC = ∠KBM.  Поэтому треугольник BKM – равнобедренный,  BK = MK = m.  Обозначим  BC = x.  Тогда  b : x = (b – m) : m,  откуда  x = ^mb/_b–m.

Ответ

^mb/_b–m.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2769