Задача 54834

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Вне прямоугольного треугольника ABC на его катетах AC и BC построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает прямую DF в точке N. Найдите отрезок CN, если  AC = 4,  BC = 1.

Подсказка

Докажите, что CN – высота прямоугольного треугольника CDF.

Решение

  Прямоугольные треугольники ABC и DFC равны по двум катетам, поэтому  DF² = AB² = BC² + AC² = 17.

  Медиана CM равна половине гипотенузы, поэтому  ∠NCF = ∠ACM = ∠A,  ∠CNF = 180° – ∠NCF – ∠CDF = 180° – ∠A – ∠B = 90°,  то есть CN – высота прямоугольного треугольника CDF, проведённая из вершины прямого угла C. Поскольку  CD·CF = 2S_CDF = DF·CN,  то  CN = ^CD·CF/_DF  = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2780