Задача 54837

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать и около него можно описать окружности. Диаметр описанной окружности совпадает с диагональю AC. Докажите, что модули разностей длин его противоположных сторон равны.

Подсказка

AC — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ABC и ADC.

Решение

Поскольку в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны, т.е.

AB + CD = AD + BC,

По условию точки B и D лежат на окружности с диаметром AC, поэтому

ABC = ADC = 90^o.

По теореме Пифагора

AB² + BC² = AC², CD² + AD² = AC²,

поэтому AB² + BC² = CD² + AD², откуда

AB² - CD² = AD² - BC²,

(AB + CD)(AB - CD) = (AD + BC)(AD - BC),

а т.к. AB + CD = AD + BC, то

AB - CD = AD - BC.

что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2783