Задача 54841

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В тупоугольном треугольнике ABC на стороне AB , равной 14, выбрана точка L , равноудалённая от прямых AC и BC , а на отрезке AL — точка K , равноудалённая от вершин A и B . Найдите синус угла ACB , если KL = 1 , а CAB = 45^o .

Решение

По условию точка K — середина стороны AB , а т.к. точка L равноудалена от прямых AC и BC , то CL — биссектриса треугольника ABC . По свойству биссектрисы треугольника

= = = = ,
поэтому AC > BC , а т.к. ABC > BAC = 45^o , то ACB < 90^o . Следовательно, угол ABC — тупой. Обозначим AC = 4x , BC = 3x . По теореме косинусов
BC2 = AC2 + AB2 - 2AC· AB cos 45^o, или

9x2 = 16x2 + 196 - 2· 4x· 14· , или

x2 - 8x + 28 = 0,
откуда x = 4 + 2 или x = 4 - 2 . Угол ACB меньше 45^o , т.к. в противном случае угол ABC не может быть тупым. Значит, BC > AC , но при x = 4 - 2 получим, что BC = 3x = 12 - 6 < 14 (т.к. 12 < 20 ). Поэтому BC = 3x = 12 + 6 . По теореме синусов
= ,
откуда находим, что
sin ACB = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2787