Задача 54854

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В окружности проведены диаметр MN и хорда AB, параллельная диаметру MN. Касательная к окружности в точке M пересекает прямые NA и NB соответственно в точках P и Q. Известно, что  MP = p,  MQ = q.  Найдите MN.

Подсказка

Прямоугольные треугольники MQN и MNP подобны.

Решение

  Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому равны опирающиеся на них вписанные углы. Кроме того, ∠MBN = 90°,  поэтому углы BMN и MQN равны (каждый из них составляет 90° в сумме с углом MNQ). Значит,  ∠PNM = ∠ANM = ∠BMN = ∠MQN.
  Поэтому прямоугольные треугольники MQN и MNP подобны по двум углам. Следовательно,  PM : MN = MN : QM,  откуда  MN² = PM·QM = pq.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2800