ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54854
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружности проведены диаметр MN и хорда AB, параллельная диаметру MN. Касательная к окружности в точке M пересекает прямые NA и NB соответственно в точках P и Q. Известно, что  MP = p,  MQ = q.  Найдите MN.


Подсказка

Прямоугольные треугольники MQN и MNP подобны.


Решение

  Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому равны опирающиеся на них вписанные углы. Кроме того, ∠MBN = 90°,  поэтому углы BMN и MQN равны (каждый из них составляет 90° в сумме с углом MNQ). Значит,  ∠PNM = ∠ANM = ∠BMN = ∠MQN.
  Поэтому прямоугольные треугольники MQN и MNP подобны по двум углам. Следовательно,  PM : MN = MN : QM,  откуда  MN² = PM·QM = pq.


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2800

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .