Задача 54868

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На стороне AB треугольника ABC взята точка K, а на стороне BC – точки M и N так, что  AB = 4AK,  CM = BN,  MN = 2BN.
Найдите отношения  AO : ON  и  KO : OM,  где O — точка пересечения прямых AN и KM.

Подсказка

Докажите, что  CM : MN : BN = 1 : 2 : 1.  Через точку N проведите прямую, параллельную AC.

Решение

  Заметим, что точка M не может лежать на отрезке BN (это противоречило бы условию  MN = 2BN).
  Итак, точка N лежит на отрезке BM, и, обозначив  CM = BN = a,  найдём, что  MN = 2BN = 2a.  Значит,  CM : MN : BN = 1 : 2 : 1.
  Через точку N проведём прямую, параллельную AC. Пусть P – точка её пересечения со стороной AB. По теореме о пропорциональных отрезках
BP : BK = BN : BM = 1 : 3,  AO : ON = AK : KP = 1 : 2.
  Из подобия треугольников BNP и BMK находим, что  PN = ¹/₃ KM,  а из подобия треугольников AOK и ANP –  OK = ¹/₃ PN.  Поэтому  OK = ¹/₉ KM.  Следовательно,  KO : OM = 1 : 8.

Ответ

1 : 2;  1 : 8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2814