Информация о задаче

Задача 54869

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол при вершине A равен 60^o. Через точки B, C и точку D, лежащую на стороне AB, проведена окружность, пересекающая сторону AC в точке E. Найдите AE, если AD = 3, BD = 1 и EC = 4. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно. Треугольник ABE — прямоугольный.

Решение

Обозначим AE = x. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно, поэтому

AE^.AC = AD^.AB, или x(x + 4) = 12,

откуда находим, что AE = x = 2.

В треугольнике ABE угол между сторонами AE и AB = 2AE равен 60^o. Значит, этот треугольник — прямоугольный. Тогда

$\displaystyle \angle$ BEC = $\displaystyle \angle$ BEA = 90^o.

Следовательно, BC — диаметр окружности. По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

BC = $\displaystyle \sqrt{AB^{2} + AC^{2} - 2AB\cdot AC\cos 60^{\circ}}$ = $\displaystyle \sqrt{16 + 36 -24}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{7}$ ,

а т.к. BC — диаметр окружности, то её радиус равен $\sqrt{7}$ .

Ответ

2; $\sqrt{7}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2815