Вершины треугольника $DEF$ лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник $DEF$ окружности к вневписанным окружностям треугольника $ABC$, равны. Докажите, что $4S_{DEF} \ge S_{ABC}$.

   Решение

Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение которых равно
1 + ,  считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.

   Решение

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение которых равно
1 + ,  считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники.

Решение

Пусть биссектриса AM прямоугольного треугольника ABC и высота CH, проведённая из вершины прямого угла, пересекаются в точке K, тогда    Прямоугольниые треугольники AHK и ACM подобны. Поэтому    Следовательно,
∠A = 45°.

Ответ

45°, 45°.

Источники и прецеденты использования