Задача 54876

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Около треугольника ABC описана окружность. Продолжение биссектрисы CK треугольника ABC пересекает эту окружность в точке L, причём CL – диаметр данной окружности. Найдите отношение отрезков BL и AC, если  sin∠A = ¼.

Подсказка

BL : AC = BL : BC = ctg∠A.

Решение

  Точки A и B лежат на окружности с диаметром CL, поэтому  ∠CAL = ∠CBL = 90°.
  Кроме того, так как CL – биссектриса вписанного угла ACB, то отрезки BL и AL равны между собой, поэтому прямоугольные треугольники CAL и CBL равны по катету и гипотенузе. Значит,  AC = BC,  а угол A – острый. Поскольку  sin∠A = ¼,  то  ctg∠A = .
  Вписанные углы BAC и BLC опираются на одну дугу, поэтому  ∠BLC = ∠A.  Следовательно,   BL : AC = BL : BC = ctg∠BLC = ctg∠A = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2822