Информация о задаче

Задача 54883

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BL и AE углов ABC и BAC соответственно, которые пересекаются в точке O. Известно,что AB = BL, периметр треугольника ABC равен 28, BO = 2OL. Найдите AB.

Подсказка

Воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника и теоремой косинусов.

Решение

Пусть OL = 2a, BO = 4a. Тогда AB = BL = 6a. Поскольку AO — биссектриса треугольника ABL, то ${\frac{AB}{AL}}$ = ${\frac{BO}{OL}}$ = 2, поэтому AL = ${\frac{1}{2}}$ AB = 3a.

Пусть CL = b. Поскольку BL — биссектриса треугольника ABC, то ${\frac{BC}{CL}}$ = ${\frac{AB}{AL}}$ = 2, поэтому BC = 2CL = 2b.

Высота BK равнобедренного треугольника ABL делит пополам основание AL, поэтому cos $\angle$ BAC = ${\frac{AK}{AB}}$ = ${\frac{1}{4}}$ . По теореме косинусов

BC² = AB² + AC² - 2AB^.AC cos $\displaystyle \angle$ BAC, или

4b² = 36a² + (3a + b)² - 3a(3a + b).

После очевидных преобразований получим уравнение

b² - ab - 12a² = 0,

откуда находим, что b = 4a. Тогда периметр треугольника ABC равен

AB + BC + AC = 6a + 8a + 7a = 21a = 28,

откуда a = ${\frac{4}{3}}$ . Следовательно, AB = 6a = 8.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2829