Информация о задаче

Задача 54885

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Сторона AB треугольника ABC равна 3, BC = 2AC, E — точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, DE = 1. Найдите AC.

Подсказка

Треугольник ADE — равнобедренный, четырёхугольник ACBE — равнобедренная трапеция.

Решение

Обозначим AC = x. По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AD}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ,

поэтому AD = 1, BD = 2. Треугольник ADE — равнобедренный, т.к. AD = DE = 1, поэтому

$\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle \angle$ BAE = $\displaystyle \angle$ BCE,

значит, AE || BC, а т.к.

$\displaystyle \angle$ ACE = $\displaystyle \angle$ BCE = $\displaystyle \angle$ BAE = $\displaystyle \angle$ AEC,

то треугольник CAE также равнобедренный. Следовательно, ACBE — равнобедренная трапеция, в которой

BE = AC = AE = x, BC = 2x, AB = CE = 3.

Пусть AK — высота трапеции ACBE. Тогда

CK = $\displaystyle {\frac{BC - AE}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{2x - x}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ ,

BK = $\displaystyle {\frac{BC + AE}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{2x + x}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ ,

AK² = AC² - CK² = x² - $\displaystyle {\frac{x^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{3x^{2}}{4}}$ ,

BK² + AK² = AB² = 9, или $\displaystyle {\frac{9x^{2}}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{3x^{2}}{4}}$ = 3x² = 9,

откуда AC = x = $\sqrt{3}$ .

Ответ

$\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2831