Задача 54891

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника ABC, пересекает стороны BA и BC в точках A' и C' соответственно. При этом
BA' < BA = 3,  BC = 2,  BA'·BC' = 3.  Найдите BA'.

Подсказка

Через вершину A проведите прямую, параллельную BC. Продолжите A'C' и медиану BN до пересечения с проведённой прямой и используйте подобие полученных треугольников.

Решение

  Пусть M – середина стороны AC, O – точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим  BC' = x,  BA' = y.  Через вершину A проведём прямую, параллельную BC. Обозначим через K и N точки пересечения проведённой прямой с прямыми C'A' и BM соответственно.
  Из равенства треугольников AMN и CMB следует, что   AN = BC = 2.  Так как  MN = BM = 3OM,  ON = BM + OM = 4OM,  BO = 2OM,  то  NO = 2BO.  Из подобия треугольников KON и C'OB следует, что  KN = 2BC' = 2x, поэтому   AK = 2x – 2.  Наконец, из подобия треугольников KA'A и C'A'B следует, что
AK : BC' = AA' : BA',  или  ^2x–2/_x = ^3–y/_y.
  Кроме того,  xy = 3.  Из полученной системы находим, что  y = ³/₂  или  y = 3.  Условию  BA' < BA = 3  удовлетворяет только  y = ³/₂.

Ответ

³/_2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2837