|
|
 |
Условие
Две окружности пересекаются в точках A и B. Хорда CD первой окружности имеет с хордой EF второй окружности общую точку M. Известно, что BM = 2, AB = 3CM = 9EM, MD = 2CM, MF = 6CM. Какие значения может принимать длина отрезка AM?
Подсказка
Докажите, что точки C, D, E и F лежат на одной окружности.
Решение
Пусть точки C и D лежат на окружности Ω1, а точки E и F – на окружности Ω2. Обозначим CM = 3a. Тогда AB = 9a, MD = 6a, MF = 18a, EM = a. Поскольку DM·MC = 18a² = EM·FM, то точки D, E, C и F лежат на одной окружности. Обозначим её Ω3. Докажем, что хорда AB проходит через точку M.
Точка M, очевидно, является радикальным центром окружностей Ω1, Ω2 и Ω3. Значит, хорды AB и CD окружности Ω1 пересекаются в точке M, и (9a – 2)² = AM·MB = DM·MC = 18a², откуда a = ⅔ или ⅓. Следовательно, AM = 4 или 1.
Ответ
4 или 1.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2845 |
