Информация о задаче

Задача 54914

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Перегруппировка площадей	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка, расположенная внутри правильного треугольника, удалена от его вершин на расстояния 5, 6 и 7. Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Отобразите точку M симметрично относительно сторон данного треугольника.

Решение

Пусть M — точка внутри правильного треугольника ABC, причём AM = 5, BM = 6, CM = 7. Рассмотрим точки A₁, B₁ и C₁, симметричные точке M относительно прямых BC, AC и AB соответственно. В равнобедренных треугольниках AB₁C₁, BA₁C₁ и CA₁B₁ известны боковые стороны и углы при вершинах A, B и C, равные по 120^o. Тогда площади этих треугольников равны соответственно ${\frac{25\sqrt{3}}{4}}$ , ${\frac{36\sqrt{3}}{4}}$ и ${\frac{49\sqrt{3}}{4}}$ . По теореме косинусов находим основания этих треугольников:

B₁C₁ = 5 $\displaystyle \sqrt{3}$ , A₁C₁ = 6 $\displaystyle \sqrt{3}$ , A₁B₁ = 7 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

По формуле Герона находим, что площадь треугольника A₁B₁C₁ равна 18 $\sqrt{6}$ . Тогда площадь шестиугольника AB₁CA₁BC₁ равна

$\displaystyle {\frac{25\sqrt{3}}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{36\sqrt{3}}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{49\sqrt{3}}{4}}$ + 18 $\displaystyle \sqrt{6}$ = $\displaystyle {\frac{110\sqrt{3}}{4}}$ + 18 $\displaystyle \sqrt{6}$ .

Поскольку треугольники AB₁C, CA₁B и AC₁B соответственно равны треугольникам AMC, CMB и AMB, то площадь шестиугольника AB₁CA₁BC₁ вдвое больше площади S треугольника ABC. Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{110\sqrt{3}}{4} + 18\sqrt{6}}\right.$ $\displaystyle {\frac{110\sqrt{3}}{4}}$ + 18 $\displaystyle \sqrt{6}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{110\sqrt{3}}{4} + 18\sqrt{6}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{55\sqrt{3}+36\sqrt{6}}{4}}$ .

Ответ

${\frac{36\sqrt{6} + 55\sqrt{3}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2858