Условие
Стороны четырёхугольника равны $a$, $b$, $c$ и $d$. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна $\sqrt{abcd}$.
Подсказка
Воспользуйтесь теоремой косинусов и свойством описанного четырёхугольника.
Решение
Пусть угол между сторонами $a$ и $b$ равен $\alpha$. Тогда угол между
сторонами $c$ и $d$ равен $180^{\circ} - \alpha$. Выразим двумя способами
по теореме косинусов квадрат диагонали, соединяющей вершины двух других углов:
$$ a^{2} + b^{2} - 2ab\cos \alpha = c^{2} + d^{2} + 2cd\cos (180^{\circ}-\alpha),~\mbox{или}$$
$$a^{2} + b^{2} - 2ab\cos \alpha = c^{2} + d^{2} + 2cd\cos \alpha.$$
Отсюда находим, что
$$2(ab + cd)\cos \alpha = a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}.$$
Поскольку в четыреугольник можно вписать окружность, то $a + c = b + d$, или $a - b = d - c$. Тогда
$$a^{2}+ b^{2}- 2ab = c^{2}+ d^{2}- 2cd~\Rightarrow~a^{2}+ b^{2}- c^{2}- d^{2}= 2(ab - cd)
\Rightarrow~$$
$$~\Rightarrow~ 2(ab + cd)\cos \alpha = 2(ab - cd)~\Rightarrow~
\cos \alpha = \frac{ab - cd}{ab + cd}.$$
Пусть $S$ — площадь данного четырёхугольника. Тогда
$$S = \frac{1}{2} ab \sin \alpha + \frac{1}{2} cd \sin (180^{\circ }- \alpha ) =
\frac{1}{2}(ab + cd)\sin \alpha =
\frac{1}{2}(ab + cd)\sqrt{1 - \cos ^{2}\alpha} =$$
$$ = \frac{1}{2}(ab + cd)\sqrt{1 - \left(\frac{ab - cd}{ab + cd}\right)^{2}} =
\frac{1}{2}\sqrt{(ab - cd)^{2}- (ab + cd)^{2}} = \sqrt{abcd}.$$
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
2859 |
