ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54915
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Теорема косинусов ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стороны четырёхугольника равны a, b, c и d. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна $ \sqrt{abcd}$.


Подсказка

Воспользуйтесь теоремой косинусов и свойством описанного четырёхугольника.


Решение

Пусть угол между сторонами a и b равен $ \alpha$. Тогда угол между сторонами c и d равен 180o - $ \alpha$. Выразим двумя способами по теореме косинусов квадрат диагонали, соединяющей вершины двух других углов:

a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle \alpha$ = c2 + d2 + 2cd cos(180o - $\displaystyle \alpha$), или

a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle \alpha$ = c2 + d2 + 2cd cos$\displaystyle \alpha$.

Отсюда находим, что

2(ab + cd )cos$\displaystyle \alpha$ = a2 + b2 - c2 - d2.

Поскольку в четыреугольник можно вписать окружность, то a + c = b + d, или a - b = d - c. Тогда

a2 + b2 - 2ab = c2 + d2 - 2cd  $\displaystyle \Rightarrow$  a2 + b2 - c2 - d2 = 2(ab - cd ) $\displaystyle \Rightarrow$  

  $\displaystyle \Rightarrow$  2(ab + cd )cos$\displaystyle \alpha$ = 2(ab - cd$\displaystyle \Rightarrow$  cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{ab - cd}{ab + cd}}$.

Пусть S — площадь данного четырёхугольника. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab sin$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$cd sin(180o - $\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(ab + cd )sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(ab + cd )$\displaystyle \sqrt{1 - \cos ^{2}\alpha}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(ab + cd )$\displaystyle \sqrt{1 - \left(\frac{ab - cd}{ab + cd}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{(ab - cd)^{2}- (ab + cd)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{abcd}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2859

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .