ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 54915
УсловиеСтороны четырёхугольника равны a, b, c и d. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна .
ПодсказкаВоспользуйтесь теоремой косинусов и свойством описанного четырёхугольника.
РешениеПусть угол между сторонами a и b равен . Тогда угол между сторонами c и d равен 180o - . Выразим двумя способами по теореме косинусов квадрат диагонали, соединяющей вершины двух других углов:
a2 + b2 - 2ab cos = c2 + d2 + 2cd cos(180o - ), или
a2 + b2 - 2ab cos = c2 + d2 + 2cd cos.
Отсюда находим, что
2(ab + cd )cos = a2 + b2 - c2 - d2.
Поскольку в четыреугольник можно вписать окружность, то
a + c = b + d, или
a - b = d - c.
Тогда
a2 + b2 - 2ab = c2 + d2 - 2cd a2 + b2 - c2 - d2 = 2(ab - cd )
2(ab + cd )cos = 2(ab - cd ) cos = .
Пусть S — площадь данного четырёхугольника. Тогда
S = ab sin + cd sin(180o - ) = (ab + cd )sin = (ab + cd ) =
= (ab + cd ) = = .
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|