Информация о задаче

Задача 54918

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC из основания D высоты BD опущены перпендикуляры DM и DN на стороны AB и BC. Известно, что MN = a, BD = b. Найдите угол ABC.

Подсказка

Точки M и N лежат на окружности с диаметром BD.

Решение

Поскольку $\angle$ BMD = $\angle$ BND = 90^o, то отрезок BD виден из точек M и N под прямым углом, поэтому точки M и N лежат на окружности с диаметром BD = 2R, где R — радиус этой окружности. Значит,

MN = 2R sin $\displaystyle \angle$ ABC.

Следовательно,

sin $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\frac{MN}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{MN}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ .

Ответ

arcsin ${\frac{a}{b}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2862