Задача 54922

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Теорема косинусов ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Биссектриса AD равнобедренного треугольника ABC ( AB = BC ) делит сторону BC на отрезки BD = b и DC = c . Найдите биссектрису AD .

Решение

По свойству биссектрисы треугольника = , откуда находим, что

AC = AB· = BC· = .
Пусть BM — высота треугольника ABC . Тогда
CM = AC = .
Из прямоугольного треугольника BMC находим, что
cos BCA = = .
По теореме косинусов из треугольника ADC находим, что
AD2 = AC2 + CD2 - 2AC· CD cos BCA = + c2 - · =

= + 1 - = = c2(2 + ).
Следовательно, AD = c .


По свойству биссектрисы треугольника = , откуда находим, что
AC = AB· = BC· = .
По формуле для квадрата биссектрисы
AD2 = AB· AC - BD· CD = (b+c)· -bc= c· = c2· .
Следовательно, AD = c .

Ответ

c .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2866